怎么因式分解三项式
在数学中，因式分解是将一组数分解成较小的乘积的过程。因式分解三项式则是将一个三次多项式分解成一系列一次和二次因式乘积的形式。下面将为您介绍如何因式分解三项式。
以 $ax^3+bx^2+cx+d$ 为例，其中 $a,b,c,d$ 均为实数且 $a\neq0$。我们可以使用以下方法进行因式分解：
- 因式分解公因式
如果三项式中存在公共因子，可以先提取出来，例如：
$$ 12x^3+18x^2=6x^2(2x+3) $$
- 分组法
对于一些无法直接因式分解的三项式，可以尝试使用分组法进行因式分解。具体步骤如下：
（1）将三项式拆分成两个二次多项式的和，如：
$$ ax^3+bx^2+cx+d=(ax^3+bx^2)+(cx+d) $$
（2）将两个二次多项式的公因式提出来，并将其乘到括号外，得到：
$$ ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+d(cx+d) $$
（3）对第一个括号内的二次多项式进行因式分解，得到：
$$ ax^3+bx^2+cx+d=x^2(ax+b)+d(cx+d)=x^2(ax+b)+d(c\cdot x+d) $$
其中，$ax^2+bx$ 可能可以继续因式分解。
- 用有理根定理进行因式分解
对于三项式 $ax^3+bx^2+cx+d$，如果存在有理根，则可以利用有理根定理进行因式分解。有理根定理的表述为：一个有理数 $r$ 是多项式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 的一个有理根，当且仅当 $r$ 是分母为 $a_n$、分子为 $a_0$ 的所有约分分数中的一个。具体步骤如下：
（1）列出该多项式的全部可能有理根。
（2）通过试除法确定真正的有理根。
（3）将多项式除以已经确定的有理根，得到一个次数更低的多项式。
（4）重复上述步骤，直到剩余的多项式只有一次或者两次为止。
例如，对于三项式 $x^3-x^2-4x+4$，求其因式分解：
（1）列出所有可能的有理根：$\pm1,\pm2,\pm4$。
（2）通过试除法确定真正的有理根为 $2$。
（3）将多项式除以 $(x-2)$，得到商式 $x^2+x-2$。
（4）对剩下的二次多项式进行因式分解，得到：
$$ x^3-x^2-4x+4=(x-2)(x^2+x-2)=(x-2)(x+2)(x-1) $$
因此，原三项式的因式分解为：$(x-2)(x+2)(x-1)$。
综上所述，因式分解三项式可以通过公因式法、分组法或者有理根定理等方法进行求解。在实际应用中，需要根据具体情况进行选择，并结合数学公式和运算规则进行计算，以获得正确的因式分解结果。
